- Citation :
- Petits exos pour le ds du 15 / 01 sur la dérivation (un V signifie racine de et un ^ signifie puissance)
Pour la réponse il suffit de cliquer sur le cadre spoilé en dessous de l'exo
Déterminer l'extremum d'un fonction :Déterminer le sommet S de :
f(x) = 5x²-2x+3
- Spoiler:
Il suffit de calculer f'(x) = 0 ; f'(x) = 10x - 2 ; Donc 10x-2 = 0 <==> 5x = 1 <==> x=1/5 ;on remplace x dans f(x) pour trouver y
f(1/5) = 5(1/25) -2/5 + 3 = 14/5 ; Donc S a pour coordonnées carthésiennes (1/5 , 14/5)
f(x) = x²-2x+6
- Spoiler:
De la même manière on calcule f'(x) = 0 ; f' (x) = 2x-2 ; Donc 2x-2 = 0
x=1 ; on remplace x par 1 dans f(x) et on obtient f(1) = 1²-2(1)+6 = 1-2+6 =5 Dons S a pour coordonnées carthésiennes (1 , 5)
Mise en équation :Un paysan veut placer 1000m de fil électrique autour de son champ de longueur
(500-x) et de largeur
x.
Quelle est l'aire maximum qui peut être ainsi délimité ?
On suppose que le champ est de forme rectangulaire (ou carré), et on néglige la largeur de l'entrée du champ.
Indice : Procédez comme pour les 2 calculs précédents.- Spoiler:
On calcule f'(x) = 0 ; ici f(x) = (500-x)x = 500x-x² donc f'(x) = 500-2x ;
500-2x=0 <==> 500=2x <==> x=250 ; On peut remplacer x par sa valeur dans f(x) pour savoir quelle serait l'aire en question et on obtient : f(250) = 250² = 62500m² = 6,25ha
L'aire est maximale quand le champ est un carré de 250m de côté, elle est alors de 6,25ha
Calcul de dérivée en a :Calculez f'(0)f'(1)f'(-3) pour f(x) = 3x+4 ;
Calculez g'(0)g'(1)g'(-3) pour g(x) = -5;
Calculez h'(0)h'(1)h'(-3) pour h(x) = 6x-V2
- Spoiler:
f'(x) = 3 donc f'(x) ne dépend pas de x, ainsi f'(a) est toujours égal à 3
g'(x) = 0 donc g'(x) ne dépend pas de x, ainsi g'(a) est toujours égal à 0
h'(x) = 6 donc h'(x) ne dépend pas de x, ainsi h'(a) est toujours égal à 6
Calculez P'(0) pour
P(x) = 5x²+3x-1
- Spoiler:
P'(x) = 10x+3 donc P'(0) = 3
Calculez f'(2) pour
f(x) = x²
- Spoiler:
f'(x) = 2x donc f'(2) = 4
Calcul de dérivée en xf(x) = x² + 1/x²
- Spoiler:
f'(x) =2x -1/x^3
f(x) = x - 2/x + 1
- Spoiler:
f'(x) = 1+2/x²
f(x) = 5x - 1/x^7 + 4
- Spoiler:
f'(x) = 5+1/x^8
f(x) = 5x² - 3
- Spoiler:
f'(x) =10x
f(x) = 19x² - 7x + V7
- Spoiler:
f'(x) = 38x - 7
f(x) = 3Vx - x
- Spoiler:
f'(x) = 3/(2Vx) - 1
f(x) = 1/(1+x²)
- Spoiler:
f'(x) = -(2x/(1+x²)²)
f(x) = x/(1-x)
- Spoiler:
f'(x) =((1-x)+x)/(1-x)²= 1/(1-x)²
f(x) = (1+x)/x
- Spoiler:
f (x) = (1+x)/x = 1/x + x/x = 1/x +1 donc f'(x) = -(1/x²)
f(x) = (3x-1)²
- Spoiler:
f'(x) = 3 fois 2 (3x-1) =18x-6
f(x) = V(2x+3)
- Spoiler:
goh(x) =V(2x+3) g(x) = V(x) et h(x) = 2x+3
f'(x) = 2 fois (1/2Vx o 2x+3) = 2/(2V(2x+3))
f(x) = 1/(7x²+3x+4)
- Spoiler:
f'(x)= (-14x-3)/(7x²+3x+4)²
Tangente en a :Exprimer la tangente en 2 pour
f(x) = 2x²-3x +(3x-2)²
- Spoiler:
2x²-3x+(3x-2)² = 2x²-3x+9x²+4-12x = 11x² -15x +4
f'(x) = 22x - 15
y= f'(2)(x-2) + f(2)= (44-15)(x-2)+44-30+4=29x-58+18=29x-40
f(x) = 7x^3 - 3
f(x) = 9/x^2
Variation de f(x) :Déterminer les variations de f(x) pour :
f(x) = (2x+3)^3
- Spoiler:
f'(x) = 2 fois 3 (2x+3)² = 6(2x+3)² = 6(4x²+12x+9) = 24x²+72x+54 on calcule delta = 72² - 4(24fois 54)= 0
l'équation a donc une solution - 72 / 48 = -3/2
On obtient le tableau de valeur suivant
x -infini -3/2 + infini
f'(x) + 0 +
f(x) ^ 0 ^
Le raisonnement c celui là par contre j'ai surement du merder dans le calcul
f(x) = Vx
f(x) = 4x+9
Déterminer les valeurs de f'(x) d'après les données de variation de f(x) (on précise qu'il n'y a aucune valeur interdite) :
f(x) est croissante sur ]- infini ; 4] et décroissante sur [4 ; +infini[
- Spoiler:
x -infini 4 + infini
f'(x) + 0 -
f(x) est décroissante sur ]- infini ; -7] croissante sur [-7 ; 2] et est décroissante sur [2 ;+ infini[
- Spoiler:
x -infini -7 2 + infini
f'(x) - 0 + 0 -
Approximation affine :Donner une valeur approchée de 1/1,028 (on se servira de f(x) = 1/(1+h))
- Spoiler:
On peut considérer ce calcul comme une valeur de f(x) = 1/x avec x = 1+h et h=0,028
dérivons f(x) : f'(x) = -(1/x²) et calculons par la formule :
f(1+h) environ égal à f(1) + h f'(1) = 1 -h
il suffit de remplacer h par sa valeur et on obtient 1/1,028 environ égal à 1-0,028 environ égal à 0,972
Donnez une valeur approchée de V2,003 (on se servira de f(x) = V(2+h))
- Spoiler:
On peut considérer ce calcul comme une valeur de f(x) = Vx avec x = 2+h et h=0,003
dérivons f(x) : f'(x) = 1/2Vx et calculons par la formule :
f(2+h) environ égal à f(2) + h f'(2) = V2+ h/V8
il suffit de remplacer h par sa valeur et on obtient V2,003 = V2 + 0,003/V8
Donnez une valeur approchée de (1,001)^3 (on se servira de f(x) = (1+h)^3)
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Lun 14 Jan - 21:41